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Le *NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines) sono delle
rappresentazioni matematiche della geometria 3D, le quali definiscono
accuratamente qualunque forma: da una semplice linea, ad un cerchio, un arco
o una curva, fino al più complesso solido o superficie a forma libera o
organica 3D. Grazie alla loro accuratezza e flessibilità, i modelli NURBS
possono esser usati in molti processi differenti, dalle illustrazioni ed
animazioni sino alla progettazione industriale.
Le geometrie NURBS hanno
cinque importanti caratteristiche che le rendono una scelta ideale per la
modellazione assistita da computer.
- Esistono svariate soluzioni basate su standard industriali in grado di
scambiare geometrie NURBS. Ciò consente ad un gran numero di utenti di poter
intercambiare i loro modelli geometrici tra i vari programmi di
modellazione, rendering, animazione ed analisi ingegneristica. Le
informazioni memorizzate sulle geometrie possono essere riutilizzate anche
fra 20 anni.
- Le NURBS hanno una definizione precisa e ben nota. I principii
matematici ed informatici delle geometrie NURBS vengono insegnati nelle
maggiori università. Ciò significa che i produttori di software
specialistici, i team ingegneristici, gli studi di design industriale e le
case di animazione che hanno bisogno di realizzare delle applicazioni
personalizzate possono trovare facilmente dei programmatori preparati in
grado di lavorare con le geometrie NURBS.
- Le NURBS possono rappresentare accuratamente sia oggetti geometrici
standard (come linee, cerchi, ellissi, sfere o toroidi), che geometrie
free-form, quali carrozzerie per automobili o corpi umani.
- La quantità di informazioni richiesta per la rappresentazione NURBS di
un elemento geometrico è di gran lunga inferiore alla quantità di
informazioni necessaria per rappresentare la stessa geometria tramite
approssimazioni mesh.
- La regola di stima di una NURBS, discussa di seguito, può essere
implementata su un computer in modo efficiente ed accurato.
Che cos'è una geometria NURBS?
Curve e superfici NURBS si comportano in modo analogo, per cui la
terminologia tecnica ad esse relative è pressoché la stessa. Visto che
le curve sono più semplici da trattare, ci soffermeremo dettagliatamente
su di esse. Una curva NURBS è definita da quattro caratteristiche: il
grado, i punti di controllo, i nodi e la regola di stima.
Grado
Il grado è un numero intero positivo. Di solito vale 1, 2, 3 o 5,
anche se può essere qualunque numero intero. Di norma, le linee e le
polilinee NURBS hanno grado 1, i cerchi NURBS hanno grado 2 e la maggior
parte delle curve free-form ha grado 3 o 5. Invece di indicare il grado
della curva con il rispettivo numero, si possono usare i termini
lineare, quadratico, cubico e quintico. Lineare
significa di grado 1, quadratico significa di grado 2, cubico significa
di grado 3 e quintico significa di grado 5. A volte, si può far
riferimento all'ordine di una curva NURBS. L'ordine di una curva NURBS è
un numero intero positivo pari a (grado+1). Di conseguenza, il grado di
una curva è dato da "ordine-1". È possibile aumentare il grado di una
curva NURBS senza cambiarne la forma. In genere, non è invece possibile
ridurre il grado di una curva NURBS senza modificarne la forma.
Punti di controllo
I punti di controllo sono una fila di punti in numero almeno pari a
(grado+1). Uno dei modi più semplici per modificare la forma di una
curva NURBS consiste nel variare la posizione dei suoi punti di
controllo. Ad ogni punto di controllo è associato un peso
(ovvero, la sua capacità di attrarre la curva). Tranne che per alcune
eccezioni, i pesi sono numeri positivi. Quando i punti di controllo di
una curva hanno tutti lo stesso peso (di solito 1), la curva viene
denominata "non razionale". In caso contrario, è detta razionale. La
lettera R dell'acronimo NURBS sta per "razionale" ed indica che
una curva NURBS può essere razionale. Nella pratica, la maggior parte
delle curve NURBS sono non razionali. Alcune curve NURBS (cerchi ed
ellissi ne sono un chiaro esempio) sono sempre razionali. Nodi
I nodi sono una fila di numeri pari a (grado+N-1), ove N rappresenta il
numero di punti di controllo. Questa sequenza di numeri che precisa la
definizione parametrica della curva è detta anche "vettore dei nodi".
In questo contesto, il termine vettore non sta a significare una
direzione 3D. La sequenza di numeri dei nodi deve soddisfare diverse
condizioni tecniche. Di norma, per assicurarsi che queste condizioni
tecniche siano soddisfatte, si richiede che i numeri siano gli stessi o
maggiori man mano che si procede verso la fine della lista e si limita
il numero di valori ripetuti ad un numero non maggiore del grado. Per
esempio, per una curva NURBS di grado 3 con 11 punti di controllo, la
sequenza 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 è una sequenza di nodi soddisfacente.
La sequenza 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 non è invece accettabile
perché sono presenti quattro numeri "2" e "4" è maggiore del grado della
curva in esame (3). Il numero di volte in cui il valore di un nodo si
ripete è detto "molteplicità del nodo". Nella sequenza di nodi
soddisfacente riportata in precedenza (0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9), il
valore del nodo 0 ha molteplicità 3, il valore del nodo 1 ha
molteplicità 1, il valore del nodo 2 ha molteplicità 3, il valore del
nodo 7 ha molteplicità 2 ed il valore del nodo 9 ha molteplicità 3. Si
dice che un nodo ha molteplicità piena se il suo valore si ripete
tante volte quante il grado. Nell'esempio, i valori dei nodi 0, 2 e 9
hanno molteplicità piena. Il valore di un nodo che figura una volta sola
è detto nodo semplice. Nell'esempio, i valori dei nodi 1 e 3 sono
nodi semplici. Se una sequenza di nodi inizia con un nodo a
molteplicità piena, segue con dei nodi semplici, termina con un nodo a
molteplicità piena e tutti i valori sono ugualmente spaziati, i suoi
nodi sono detti uniformi. Per esempio, se una curva NURBS di
grado 3 con 7 punti di controllo ha una sequenza 0,0,0,1,2,3,4,4,4, i
suoi nodi saranno uniformi. I nodi della sequenza 0,0,0,1,2,5,6,6,6, per
esempio, non saranno invece uniformi. I nodi senza uniformità si dicono
appunto non uniformi. Le lettere N ed U dell'acronimo NURBS stanno per "non
uniformi" ed indicano che i nodi di una curva NURBS possono essere
non uniformi. Valori di nodo ripetuti all'interno di una sequenza di
nodi rendono la curva NURBS meno smussata. Un nodo a molteplicità piena
nel mezzo di una sequenza di nodi indica che c'è una zona nella curva
NURBS che può essere associata ad una discontinuità. Per questa ragione,
alcuni designer preferiscono aggiungere e rimuovere i nodi e quindi
regolare i punti di controllo per ottenere delle curve dalle forme più
smussate o più spigolose. Poiché il numero dei nodi è pari a
(N+grado-1), in cui N è il numero di punti di controllo, l'aggiunta di
nodi comporta l'aggiunta di punti di controllo, così come la loro
rimozione implica la rimozione di punti di controllo. È possibile
inserire dei nodi in un curva NURBS senza cambiarne la forma. La
rimozione di nodi, in genere, cambia invece la forma di una curva.
Nodi e punti di controllo
Un comune malinteso è dato dal fatto di accoppiare ciascun nodo con un
punto di controllo. Ciò è vero solo per le NURBS di grado 1 (polilinee).
Per NURBS di grado maggiore, sono presenti gruppi di (2 X grado) nodi
che corrispondono a gruppi di (grado+1) punti di controllo. Per esempio,
si supponga di avere una NURBS di grado 3 con 7 punti di controllo e
nodi 0,0,0,1,2,5,8,8,8. I primi quattro punti di controllo sono
raggruppati con i primi sei nodi. I punti di controllo dal secondo al
quinto sono raggruppati con i nodi 0,0,1,2,5,8. I punti di controllo dal
terzo al sesto sono raggruppati con i nodi 0,1,2,5,8,8. Gli ultimi
quattro punti di controllo sono raggruppati con gli ultimi sei nodi.
Alcuni modellatori usano obsoleti algoritmi per la stima di una NURBS e
richiedono due ulteriori valori di nodo per un totale di (grado+N+1)
nodi. Durante l'esportazione o importazione di una geometria NURBS,
Rhino inserisce o rimuove automaticamente questi due nodi superflui a
seconda del caso.
Regola di stima
La regola di stima di una curva associa, con una formula matematica, un
numero ad un punto. La regola di stima NURBS è una formula che
riguarda il grado, i punti di controllo ed i nodi. Essa calcola le
cosiddette funzioni base B-spline. Le lettere BS nell'acronimo NURBS
stanno per "basis spline". Il numero con il quale si avvia la
regola di stima è detto "parametro". Possiamo pensare alla regola di
stima come ad una "scatola nera" che riceve un parametro e produce un
punto. Il grado, i nodi ed i punti di controllo determinano il modo in
cui lavora questa "scatola nera". Altre letture
Se avete dimestichezza con le formule matematiche, eccovi alcuni
dossier con informazioni più tecniche sull'argomento:
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